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函数的单调性78413函数的单调性
主讲教师:丁益祥
【知识概述】

(1)定义
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数在区间D上是减函数.
(2)利用定义证明函数在给定区间单调性的步骤:
①取值:设为该区间内任意的两个值,且;
②作差变形:作差,并通过通分、因式分解、配方等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
③定号:确定差值的符号;
④判断:根据定义作出结论.

如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间.

(1)一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的,都有;
②存在,使得.
那么,我们称M是函数的最大值.
(2)设函数的定义域为I,如果存在实数m满足:
①对于任意的,都有;
②存在,使得.
那么,我们称m是函数的最小值.
【学前诊断】
1.[难度] 易
函数在实数集上是增函数,则( ).
A. B. C. D.,且
2.[难度] 易
在区间上为增函数的是( ).
A. B.
C. D.
3.[难度] 中
定义在上的函数对任意两个不相等实数,总有成立,
则必有( ).
B. 函数是先减少后增加

【经典例题】
,那么实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.

,并且满足,
(1)求的值;
(2)如果,求x的取值范围.
,对任意恒成立,则实数m的取值范围是______________.
已知函数的定义域是R.
(1)求实数m的取值范围
(2)当m变化时,若函数的最小值为,求的值域.
例 ,对任意的,都有,并且当x>0时,;
(1)求;
(2)判断在R上的单调性并证明你的结论;
(3)若,求在区间上的最大值和最小值.
【本课总结】
(或单调区间)的方法
(1)图象法:先作出函数图象,利用图象直观判断函数的单调性;
(2)直接法:对于我们熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调性或单调区间;
(3)利用一些常见结论:
①当c>0时,函数与函数具有相同的单调性;当c<0时,函数与函数具有相反的单调性.
②若,则函数与具有相反的单调性.
③在公共定义域内:
增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增