函数的单调性.doc

函数的单调性主讲教师:丁益祥【知识概述】(1)定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数在区间D上是增函数;如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数在区间D上是减函数.(2)利用定义证明函数在给定区间单调性的步骤:①取值:设为该区间内任意的两个值,且;②作差变形:作差,并通过通分、因式分解、配方等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;③定号:确定差值的符号;④判断:,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,(1)一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的,都有;②存在,,我们称M是函数的最大值.(2)设函数的定义域为I,如果存在实数m满足:①对于任意的,都有;②存在,,我们称m是函数的最小值.【学前诊断】1.[难度].[难度]易函数在实数集上是增函数,则(). C. D.,且3.[难度]中下列四个函数在其定义域上为增函数的是()A. . D. 【经典例题】,那么实数的取值范围是():因为的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为直线,,故可得,∴..(1)求实数m的取值范围;(2)当m变化时,若函数的最小值为,:(1)函数的定义域是R,,,,函数的图象开口向上,且与x轴最多有一个交点,所以,得,,,因此实数的取值范围是.(2)当时,;当时,,此时在上递减,在上递增,所以,,,,对任意的,都有,并且当x>0时,;(1)求;(2)判断在R上的单调性并证明你的结论;(3)若,:(1)令,则,∴.(2):任取,且,,所以,,所以,因此在上是减函数.(3)由(2)知,,.【本课总结】(或单调区间)的方法(1)图象法:先作出函数图象,利用图象直观判断函数的单调性;(2)直接法:对于我们熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调性或单调区间;(3)利用一些常见结论:①当c>0时,函数与函数具有相同的单调性;当c<0时,函数与函数具有相反的单调性.②若,则函数与具有相反的单调性.③在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;