第一节向量的概念与线性运算
一向量的概念
二向量的线性运算
1
一向量的概念
向量:
既有大小又有方向的量.
向量表示:
模长为1的向量.
零向量:
模长为0的向量.
| |
向量的模:
向量的大小.
单位向量:
或
或
或
规定零向量的方向是任意的。
2
自由向量:
不考虑起点位置的向量.
相等向量:
大小相等且方向相同的向量.
负向量:
大小相等但方向相反的向量.
3
二向量的线性运算
1 加法
平行四边形法则
特殊地:若
‖
分为同向和反向
三角形法则
4
向量的加法符合下列运算规律:
(1)交换律:
(2)结合律:
(3)
2 减法
5
设
是一个数,向量
与
的乘积
规定为
3 向量与数的乘法
6
数与向量的乘积符合下列运算规律:
(1)结合律:
(2)分配律:
两个向量的平行关系
7
证
充分性显然;
必要性
‖
两式相减,得
8
按照向量与数的乘积的规定,
上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
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例1 化简
解
例2 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与平行且相等,
结论得证.
10
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