第二章4极限运算法则.ppt

第一章
二、极限的四则运算法则
三、复合函数的极限运算法则
一、无穷小运算法则
§ 极限运算法则
时, 有
一、无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小量的和还是无穷小量.
证: 考虑两个无穷小的和.
设
当
时, 有
当
时, 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量.
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小!
例如,
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小.
定理2 . 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.
证: 设
又设
即
当
时, 有
取
则当
时, 就有
故
即
是
时的无穷小.
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小.
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
说明: y = 0 是
的渐近线.
其中为
时的无穷小量.
定理 . ( 无穷小量与函数极限的关系)
则有
证: 因
则有
(其中
为当x 趋于x0 时的无穷小量)
于是
定理 3 . 若
二、极限的四则运算法则
由定理 1 可知
也是当x 趋于x0时的无穷小量,
再利用极限与无穷小量的关系定理, 知定理结论成立.
且
则
利用保号性定理证明.
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.
提示: 令
定理 4 . 若
则有
推论: 若
证明
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.
推论 1 .
( C 为常数)
推论 2 .
( n 为正整数)
例2. 设 n 次多项式
试证
证:
为无穷小
证: 因
其中
设
(无穷小)
(有界)
为无穷小,
因此
由极限与无穷小关系定理, 得结论成立.
定理5 若
仍然成立.
说明:可以证明以上极限的四则运算法则对于
则有
定理 6 若
提示: 因为数列是一种特殊的函数,
故此定理
可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论.