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数值积分算法和离散相似算法的计算量比较大,因此仿真速度受到了一些限制。在一些要求尽可能快的获得仿真结果的场合,需要一些快速的数字仿真算法。
算法的精度和速度是一对矛盾,以前主要考虑的是精度,而在快速数字仿真算法中,考虑在满足计算稳定性及工程精度要求的情况下,尽可能提高仿真计算速度。
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快速数字仿真算法
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一般快速数字仿真算法有如下两点基本要求:
每步计算量要小
算法具有良好的稳定性,允许采用较大的步长,同时又能保证必要的计算精度
为了提高速度,要尽量减少仿真中附加信息的计算。例如,如果只对输出感兴趣,就没必要将系统转换成状态空间描述,直接转换成脉冲传递函数有利于快速仿真。
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双线性变换法
根匹配法
双线性变换法
思路:
把一个高阶连续系统数学模型G(s)中的复变量s用适当的关于z的函数f(z)进行替换
得到每步计算量较小、允许采用较大步长、具有合理精度的仿真模型G(z)
利用G(z)求得对应的差分方程,以达到快速仿真的效果。
1 双线性变换法
连续系统的传递函数G(s)转化成脉冲传递函数G(z)一般使用
部分分式展开并查Z变换表或者
级数求和法:
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近似为:
双线性变换法思路:
但是对于高阶系统,这两种方法都比较繁琐。
线性近似
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双线性变换法步骤
设连续系统的传递函数为


采用双线性变换法求取离散模型的步骤:
1. 将G(s)中的s替换得到脉冲传递函数G(z),并整理成有理分式形式:
2. 由G(z)=Y(z)/U(z),交叉相乘,两边取Z反变换,得到便于计算机递推计算的差分方程
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设连续系统的传递函数为

其稳态增益为bn/an 。若将G(s)进行双线性变换,有

显然,G(z)的稳态增益仍然是bn/an。
双线性变换后的稳态增益不变
双线性变换算法的计算稳定性
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S平面
z平面
结论:
因此如果原传递函数G(s)是稳定的,则通过双线性变换后得到的脉冲传递函数G(z)也必然是稳定的。
双线性变换
S是G(S)的特征根
Z表示G(z)的特征根
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例:已知连续系统的传递函数为
试采用双线性变换法求出相应的脉冲传递函数和差分方程,并分析脉冲传递函数的稳定性。
根据
得脉冲传递函数
离散系统特征方程的特征根的模为
因此脉冲传递函数G(z)是稳定的
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根匹配法
连续系统G(s) 与离散系统G(z)等价
瞬态特性和稳态特性
都一致
瞬态特性和稳态特性
由零点、极点决定
因此,离散化前后,
G(s)与G(z)的零极点相匹配