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一、曲线积分的计算法
二、曲面积分的计算法
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法
曲线积分
第一类( 对弧长)
第二类( 对坐标)
(1) 统一积分变量
转化
定积分
用参数方程
用直角坐标方程
用极坐标方程
(2) 确定积分上下限
第一类: 下小上大
第二类: 下始上终
思考
其中L为圆周
提示: 利用极坐标,
原式=
说明: 若用参数方程计算,
则
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2的一段弧.
提示:
其中由平面 y = z 截球面
提示: 因在上有
故
原式=
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
(1) 利用对称性及重心公式简化计算;
(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式(注意加辅助线的技巧) ;
(4) 利用两类曲线积分的联系公式.
2. 基本技巧
例1. 已知 L的长度为a,求
解: 即3x2+4y2=12,所以
又L关于x轴对称,而sin(xy)关于y为奇函数,所以
于是 I = 12a。
例2. 计算
其中为曲线
解: 利用轮换对称性, 有
利用重心公式知
(的重心在原点)
例3. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心,
解法1 令
则
这说明积分与路径无关, 故
a 为半径的上半圆周.
解法2
它与L所围区域为D,
(利用格林公式)
思考:
(2) 若 L 同例3 , 如何计算下述积分:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
则
添加辅助线段
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