数学模型与数学建模.pdf

§ 数学模型与数学建模数学模型与数学建模
¾ 数学模型(Mathematical Model)
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题
本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客
观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一
现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
¾ 数学建模(Mathematical Modeling)
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过
程。
例(万有引力定律的发现)
开普勒三大定律
十五世纪中期,哥白尼提出了震惊世界的日心说。
,太
丹麦著名的实验天文学太阳位于此椭圆的一个焦家第谷花了二十多年时间
观察纪录下了当点上。时已发现的五大行星的运动情况。

的分析计算后得出著名的面积不变。Kepler三定律。
牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,
方法推导出牛顿第三定律即于椭圆长半轴的三次方万有引力定律,。
比例系数不随行星而改变
这其中必(绝对常数)定是某一力学
规律的反映,哼哼,我
要找出它。。。。
简单推导如下:
p
如图,有椭圆方程: r =
1− ecosθ
1
矢径所扫过的面积A的微分为: dA = r 2dθ
2
dA 1 2
由开普勒第二定律: = r w =常数
dt 2
••
d 2 2
立即得出: 0 = (r w) = 2r r w + r w 行星
dt r
••θ
即: 2r w + r w = 0 太阳
T dA 1
椭圆面积πab = dt = r 2 wT
∫0 dt 2
2πab
由此得出 r 2w = =常数
T
我们还需算出行星的加速度,为此需要建立两种
不同的坐标架。第一个是固定的,以太阳为坐标原点,
沿长轴方向的单位向量记为i,沿短轴方向的单位向量记
为j,于是:
r = r cosθ i + r sinθ j
进而有加速度
•• d 2 d 2
a = r = ( r cosθ) i + ( r sinθ) j
dt 2 dt 2
••••
= ( r − rw2 )(cosθ i + sinθ j)+ ( 2 r w + r w )( − sinθ i + cosθ j)·
以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向
量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ= − sinθ• i + cos•θ j
••由于2r w+r w= 0
因此得出 2
a = ( r − rw )er
§§ 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤
¾ ,明确建模目的,收集掌握
必要的数据资料。
¾ ,掌握必要资料的基础上,通过
对资料的分析计算, 找出起主要作用的因素,经必
实体信
要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。假设建模求解验证应用
息(数据)
¾ ,利用适当的数学工具去刻
划各变量之间的关系,建立相应的数学结构——即
建立数学模型。在难以得出解析解时,也
应当借助计算机求出数值
¾ 。解。
¾ 。
§§ 数学模型的分数学模型的分类类
分类标准分类标准具体类别具体类别
对某个实际问题白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
了解的深入程度
模型中变量的特连续型模型、离散型模型或确定性
征模型、随机型模型等
建模中所用的数初等模型、微分方程模型、差分方
学方法程模型、优化模型等
研究课题的实际人口模型、生态系统模型、交通
范畴流模型、经济模型、基因模型等
§ 数学建模与能力的培养
§ 数学建模与能力的培养仅最近几年里,我校
学生都在只参加了半
①数学建模实践的每一步中都年左右的学习和实践蕴含着能力上的锻炼,在
调查研究阶段,需要用到后,就在国际性的竞观察能力、分析能力和数据处理
能力等。在提出假设赛(美国大学生数学时,又需要用到想象力和归纳简化
能力。开设数学建模课的主要目的为了提高学建模竞赛)中交出了
生的综合素质非常出色的研究论,增强应用数学知识解决实际问
题的本领。
②在真正开始自己的研究之前,还应当尽可能先了解一下文,夺得了特等奖兼
前人或别人的工作,使自己的工INFORMS奖2项(1999作成为别人研究工作的
继续而不是别人工作的重复,你可以把某些已知的研究结年、2