第4章线性系统的根轨迹分析.pptx

本章主要内容
本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法,以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能(稳定性、暂态特性和稳态性能指标等)。
本章重点
学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能, 参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。
4-1 根轨迹的基本概念
根轨迹的主要内容
当系统的某一参数变化时,利用已知的开环传递函数的极点和零点,绘制闭环系统的特征根的轨迹。
下面结合具体的例子来说明什么是根轨迹。控制系统框图如图4-1-1所示,其开环传递函数为
图4-1-1控制系统框图
将上式化为
即为根轨迹所用传函的标准形式,其中
由式(4-1-2)解得两个开环极点:p1 =0, p2 =-2画于图4-1-2中。由式(4-1-2)求得闭环传递函数为
(4-1-1)
(4-1-2)
(4-1-3)
于是得到闭环系统的特征方程
下面说明,当k从0→∞,特征根即闭环极点如何变化。
(4-1-4)
解得
(4-1-5)
当k=0时, ,此时闭环极点就是开环极点。
当0<k<1时, 均为负实数,在(-2,0)一段负实轴上。
当k=1时, ,两个负实数闭环极点重合在一起。
当1<k<∞时,两个闭环极点变为一对共轭复数极点
的实部不随k变化,说明位于(-1,j0)点且平行于虚轴的直线上。当k→∞时, 将趋向于无限远处。图4-1的控制系统的根轨迹图如图4-1-2所示。
图4-1-2二阶系统的根轨迹
根轨迹
控制系统的某一参数由零变化到无穷大时,闭环
系统的特征根在[s]平面上形成的轨迹。
绘制根轨迹依据的条件
设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s),其中G(s)为控制系统前向通路传递函数,H(s)是控制系统主反馈通路的传递函数,则负反馈系统的特征方程为
(4-1-6)
(4-1-7)
将上式改写成
幅值条件
相角条件
(4-1-8)
(4-1-9)
(4-1-10)
4-2 根轨迹的绘制规则
绘制根轨迹时,需将开环传递函数化为用极点、
零点表示的标准形式,即
(4-2-1)
式中
为系统的开环零点
为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型,即有s=0的开环极点,将式(4-2-1)改写为
(4-2-2)
为系统的开环放大倍数。
-
式中
无开环零点时取
根轨迹的分支数
规则一根轨迹在[s]平面上的分支数等于控制系统特征方程式的阶次,即等于闭环极点数目,亦等于开环极点数目。
根轨迹的连续性与对称性
规则二根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。