等差数列等差数列教学目的:1、理解等差数列的概念。2、掌握等差数列的通项公式,并会根据他进行简单的运算教学重点:等差数列的概念及通项公式,通项公式的应用。教学难点:理解等差数列的概念。关键:讲清“等差”的特点,强调每一项于前一项的差是同一个常数。教学方法:启发式,讲练结合。教学过程:一、提问导入新课。Ⅰ、观察与思考:下面的几个数列:Ⅱ、问题:从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点?分析:后一项与前一项的差的特点是:Ⅲ、归纳:这些数列导入是常数1是常数-3是常数1/10从第2项起它们的后一项与前一项的差都是同一个常数。这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示。等差数列的首项用字母a1表示。一、等差数列的定义:例1:观察下列数列是否是等差数列:等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那麽这个数列就叫做等差数列。解析:(1)、该数列的第2项与第一项的差是1,其余的后一项与前一项的差都是2。不符合等差数的定义要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数。所以,它不是等差数列。(2)、不是。理由同(1)(3)、是。它符合等差数列的定义。(4)、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是:1,2,3,4,5,‥‥是常数,但不是同一常数。所以不是。1、等差数列要求从第2项起,后一项与前一项作差。不能颠倒。2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数,也可以是0和负数。评注:二、等差数列的通项公式:等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如:那麽,则由定义得:a2-a1=d(1)a3-a2=d(2)a4-a3=d(3)a5-a4=d(4)、、、、、an-an-1=d分析:如果把左边由(1)式到最后一个式子,共_____个式子相加,则有:n-1等号左边为:an-a1,等号右边为:(n-1)d所以:an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d当n=1时,上式两边都等于a1。∴n∈N*,公式成立。∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d三、通项公式的应用:例2:(1)、已知等差数列的首项a1是3,公差d是2,求它的通项公式。(2)、求等差数列10,8,6,4,‥‥的第20项。(3)、-401是不是等差数列–5,-9,-13,‥‥的项?如果是,是第几项?等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中,an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量。评注:分析:知道a1,d,求an。代入通项公式。∵a1=3,d=2∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n-1解:(1)、已知等差数列的首项a1是3,公差d是2,求它的通项公式。(2)、求等差数列10,8,6,4,‥‥的第20项。分析:根据a1=10,d=-2,先求出通项公式an,再求出a20解:∵a1=10,d=8-10=-2,n=20由an=a1+(n-1)d得∴a20=a1+(n-1)d=10+(20-1)×(-2)=-28解:∵a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1∵-401=-4n-1∴n=100∴-401是该数列的第100项。分析:根据a1=-5,d=-4,先求出通项公式an,再把–401代入,然后看是否存在正整数n。(3)、-401是不是等差数列–5,-9,-13,‥‥的项?如果是,是第几项?解:由题意可得a1+5d=12(1)﹛a1+17d=36(2)∴d=2a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n此题解法是利用数学的函数与方程思想,函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一,也是高考必考的思想方法,应熟悉并掌握。例3:在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,求首项a1,公差d及通项an。分析:此题已知a6=12,n=6;a18=36,n=18分别代入通项,公式an=a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两个未知数组成方程组,可解出a1与d。***********评注:
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