x本科数理逻辑命题.ppt

复习
1、命题
命题定义:具有真假意义的陈述句被称为命题
注:必须是陈述句
有确定的真假值,且真假意义必须二者必居其一
2、命题的真值
命题若为真,称命题的真值为真(可记为 1 或 T)
命题若为假,称命题的真值为假(可记为 0 或 F)
3. 命题的符号化
将命题的实质抽象出来(内容隐去)用字母表示一个具体的命题
4. 简单命题与复合命题
若命题不能分解为更简单的陈述句,称为原子(简单)命题
注:复合命题要能分解为若干具体的简单命题的组合
5. 命题变元
用一个字母表示一个具体命题(具有真值)称为命题常元
用一个字母表示一个抽象的命题(无确定的真值)称为命题变元。
6. 命题变元的赋值(命题变元的值域)
注:命题变元不是命题
命题的运算
复合命题-是利用自然语言的一些连词将若干简单命题复合构成
连词-要将其定义(抽象)为数理逻辑中的运算符号
1、否定联结词定义:
设P为命题,规定“P是不对的”称为对P的否定
记为: ┐P
规定: ┐P为真当且仅当P为假
注意在自然语言中:对全称的否定,只要个别不成立
对个别的否定,要对全称进行否定逻辑上有效
真值表:
2、合取联结词定义:
设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式
记作p∧q, ∧称作合取联结词。
规定p∧q为真,当且仅当p与q同时为真。
注:i〉 p∧q为一个复合命题,由二个命题 p,q复合构成的命题
ii〉合取在逻辑中表现为俩个事件同时发生
注意自然语言中的连词的词义来判别是否属于此种现象
“和”、“与”
…即…又…、不仅…而且…等均具有合取的意义
真值表:
3、析取联结词定义:
设P,Q为命题,称“P或Q”为P、Q的的析取,
记作P∨Q
规定:PVQ为假,当且仅当P、Q同时为假
1)析取是自然语言连词“或”的抽象
“可兼或”-- 二个判断可同时为真(相容或)
“排斥或”-- 二个判断不能同时为真(异或、不可兼或)
析取联结词“∨”抽象的是可兼或
2)从定义可得其真值表
“→”
1)定义:设P,Q为命题,
称“如果P,则Q”为P、Q的蕴涵式(条件命题),记作P→ Q
规定:P→ Q真值为假,当且仅当P为真时Q为假,
并称P为P→ Q的前提(前件),Q为P→ Q 的结论(后件)
2)蕴涵联结词“→”的真值表
注意:条件命题的真值与条件命题中的结论的真值是不同的概念
从直值表中可以分析出:
i〉当前件为假,不论后件如何,则P→ Q一定为真
即:前提不成立,结论不论真假,P→ Q为真命题
ii〉后件为真,不论前件真假,P→ Q为真命题
iii〉P→ Q 的真值仅在“p为真q为假”时为假(其余情况均为真)
Ⅳ> 当P→ Q 的真值为假时:
Q为假,则P一定为真
P为真, Q一定为假
当P→ Q的真值为真
P为真,Q一定为真
P为假时, Q可任意
以上的结论对今后的推理将起到非常重要的作用,对条件命题的理解,将贯穿于我们这五章的主要内容
3)自然语言中将该命题的前件和后件的其他叙述为:
p → q
p是q 的充分条件 q是p的必要条件
前件是后件的充分条件,后件是前件的必要条件
而对于充分条件和必要条件的叙述又有各种的表达方式:
如果 p 则 q 只有 q 则 p
只要 p 就 q p 仅当 q
若 p 就 q 除非 q 则 p
当 p 则 q
关键是对此类命题的符号化
双条件
例将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值:
(1)如果3+3 = 6,则雪是白色的.
(2)若3+3 ≠ 6,则雪是白色的.
(3)只要3+3 = 6,则雪不是白色的.
(4)3+3≠6是雪不是白色的充分条件.
雪不是白色的是3+3≠6的必要条件.
令p:3+3= 6 (p 的真值为1)
q:雪是白色的(q的真值为1)
两个命题虽无逻辑上的内在联系,但可用蕴涵式表示
(1)表示为 p → q
(2)表示为┓p → q
(3)表示为 p →┓q
(4)表示为┓ p →┓ q
真值为 1 1 0 1
以下命题中出现的a是给定的一个正整数:
令 r:a能被4整除. s: a能被2整除.
(5)只要a能被4整除,则a一定能被2整除.
(6)a被4整除,仅当a能被2整除.
(7)除非a能被2整除,a才能被4整除.
(8)除非a能被2整除,否则a不能被4整除.
(9)只有a能被2整除,a才能被4整除.
(10)只要a能被2整除,a才能被4整除.
(5)到(9)五个命题均叙述的是a能被2整除是a能被4整除的必要条件,只是在叙述上有所不同,因而都符号化为 r →s
是否存在真值?