引言
前面,我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.
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譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估计为1000条.
若我们能给出一个区间,在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
实际上,N的真值可能大于1000条,
也可能小于1000条.
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也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率,置信度或置信水平.,这里是一个
很小的正数.
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置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如,通常可取置信水平=.
根据一个实际样本,由给定的置信水平,我
小的区间,使
们求出一个尽可能
置信区间.
称区间为的
置信水平为
的
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寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.
使得
称为与之间的误差限.
我们选取未知参数的某个估计量,根据置信水平,可以找到一个正数,
只要知道的概率分布,确定误差限并不难.
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下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.
由不等式
可以解出:
这个不等式就是我们所求的置信区间.
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一、置信区间定义:
满足
设是一个待估参数,给定
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
则称区间是的置信水平(置信度、置信概率)为的置信区间.
分别称为置信下限和置信上限.
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一旦有了样本,就把估计在区间
内.
这里有两个要求:
可见,
对参数作区间估计,就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
(X1,…Xn)
(X1,…Xn)
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2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度尽可能短,或能体现该要求的其它准则.
1. 要求以很大的可能被包含在区间
内,就是说,概率要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
可靠度与精度是一对矛盾,
一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
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~N(0, 1)
选的点估计为
求参数的置信度为的置信区间.
例1 设X1,…Xn是取自的样本,
二、置信区间的求法
明确问题,是求什么参数的置信区间?
置信水平是多少?
寻找未知参数的
一个良好估计.
解:
寻找一个待估参数和
估计量的函数,要求
其分布为已知.
有了分布,就可以求出
U取值于任意区间的概率.
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