几何证明(一)对于几何中等量关系的证明.doc

第一部分:基本问题示例
一、证明边相等
:
:如图,四边形ABCE中,AC为对角线,AD⊥BC于D,且AC2=AE2+EC2,BD=CE,AD=AE.
求证:AB=AC
证明:∵ AC2=AE2+EC2
∴△AEC为直角三角形
∴∠AEC=90°
∴在Rt△ADB与Rt△AEC中

∴△ADB≌△AEC(SAS)
∴ AB=AC
借较基本的问题关注常见的几种证明等边的方法,并在其中积累.
解决几何问题的一般策略:明确任务→判定方法—分析条件.
积累:①从已知入手,AC2=AE2+EC2→出现直角;
②标注已知条件;
③要证AB=AC,从哪儿来?直观观查和从已知条件入手.
:
:△ABC中,D、E、F分别是BC、AB、AC的中点,且四边形AEDF是菱形,试判断△ABC的形状.
解:在△ABC中
∵ D为BC中点,
E为AB中点,
∴ DE∥AC且
同理:DF∥AB,且
又∵四边形AEDF为菱形
∴ DE=DF
∴ AC=AB
∴△ABC为等腰三角形.
积累:①多个中点→中位线→平行→平行四边形(从已知看);
②菱形→相等的线段、角;
③△ABC形状怎么判断?
从角:等角,直角;从边:等边,两条边的平方和=第三边的平方等;
④由①②结合直观找到目标.
二、证明角相等
,△ABC各角的平分线,AD、BE、CF相交于O,过O作OG⊥BC于G.
求证:∠BOD=∠COG.
分析:本题难点:①各角平分线→条件杂乱;②欲证两角相距较远,直观上没有三角形全等.
切入点:①相等角较多,方便表示;②建立联系.
证明:∵ AD为△ABC角平分线
∴
同理:
∴∠1+∠2+∠3==
∴∠BOD=∠2+∠3=90°-∠1
又∵ OG⊥BC于G
∴∠COG=90°-∠1
∴∠BOD=∠COG
积累:条件分散时如何集中?
可用其它条件表示;利用等式性质.
第二部分综合问题思路探求
1.(06北京) 如图(a),OP是∠MON的平分线,请利用该图画一对OP所在直线为对称轴的全等三角形,请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题.

(1)如图(b),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F,请判断并写出FE与FD之间的数量关系.
(2)如图(c),在△ABC中,若∠ACB不是直角,而(1)中其他条件不变,请问,在(1)中所得结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
解答:
(1) FE=FD.
(2)证明:在AC上截取AG=AE,连结FG
在△AFE与△AFG中
∵
∴△AFE≌△AFG(SAS)
∴EF=FG,∠AFE=∠AFG(即∠1=∠2)
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°
∴∠FAC+∠FCA=(即∠3+∠4)
∴∠1=∠2=∠CFD=60°
∴∠CFG=60°
在△CFD与△CFG中
∵
∴△CFD≌△CFG(ASA)
∴ DF=FG
∴ EF=DF. 即FE=FD.

2.(07北京)等对边四边形:一组对边相等的四边形.
(1)举例.
(2)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于点O,若∠A=60°,
∠DCB=∠EBC=,请写出一个与∠A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3)在△ABC中,如果∠A是不等于60°的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且∠DCB=∠EBC=.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
分析:本题难点:①∠DCB=∠EBC=怎么使用?②可能发现不到证等对边四边形,实质是证一组线段相等.③该由何方法证明线段相等?选哪种好?
突破点:①考虑作双垂直(条件少,直角三角形中可用定理多);②直观看到△BDM≌△CEN,但条件仍少;③多用角找相等,及等量的传递.
解:(1)略;
(2)∠A=∠BOD=∠COE,四边形DBCE为等对边四边形.
(3)过B作BM⊥CD延长线于M,作CN⊥BE于点N
△BCM≌△CBN(AAS)
∴
∵∠BDM=∠DBC+∠DCB(外角)
=∠DBO+∠OBC+∠DCB(分开向已知等角靠)
=∠1+2∠OBC
又∵∠CEN=∠BAE+ABE(外角)
=∠1+∠A
∴∠BDM=∠CEN
∴△BDM≌△CEN(AAS)
∴ BD