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第一篇复变函数论
复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造,这个新的数学分支统治了19世纪。几乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样,曾被称为19世纪的数学享受,也曾被称为抽象科学最和谐的理论之一。
复变函数理论中最重要的内容是解析函数。解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用,而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题。
由于复变函数是定义在复数集上的,为此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念。
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一. 复变函数的内容:
1、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中;
2、解除了实数领域中若干禁令:
实函
复函
不存在
不存在
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复变函数的内容:
1、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中;
2、解除了实数领域中若干禁令:
3、建立了三角函数和指数函数,双曲函数的关系
shx为双曲正弦
chx为双曲余弦
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二. 复变函数的应用:
1、解偏微分方程的边值问题,如:保角变换法、
复变函数法;
2、解偏微分方程的初值问题,如:积分变换法、
行波法;
3、计算实积分,如:留数定理。
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§ 复数与复数运算
一. 复数的基本概念
虚数单位
复数
实部、虚部
纯虚数
两个复数相等
实部和虚部分别相等
第一章复变函数
Z
x
y
z
O
代数式
复数平面
实轴
虚轴
复数还可以用复平面上的矢量来表示!
复数不能比较大小!
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复数的三角表示式:
复数的指数表示式:
r称为z的模:
z的辐角:
辐角没有意义.
结论
设
的一个辐角,
为
则
的辐角中,
满足
的角.
Z
x
y
z
O
欧拉公式
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设
共轭复数
i)
ii)
iii)
iv)
定义
Z
x
y
z
O
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二. 无限远点
N为北极,
S为南极
除去北极N,球面上的点与复平面内
的点一一对应.
除去北极N,球面上的点与

即
因当z点无限地远离原点时
或者说,当复数z的模无限地变大时,
点P就无限地接近于N.
所以,规定:
复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应.
相应地,规定:
复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点 N相对应.
记为∞
测地投影,球叫做复数球
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三. 复数的运算
和差
积
交换律结合律
交换律、结合律、分配律
商
除法是乘法的逆运算
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有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单:
辐角不能唯一确定,可以相差的整数倍
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