第五章声子： 热学性质.ppt

第五章声子II:热学性质Phonons I I :Thermal Properties
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§ 点阵热容
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固体的热容
在任一过程中﹐加给体系的热量与体系由此发生的温度的变化之比﹐被定义为体系的热容。
固体的定容热容量定义为:
其中U是固体内能,包括晶格系统内能和电子系统内能,因此热容也包括晶格热容(点阵热容)和电子系统热容两部分。电子热容只在低温下显著。本章只讨论点阵热容。
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对于由N个原子构成的三维简单晶格,晶格热容量在高温下的实验结果为3NKB,在低温下,绝缘体的热容量以T3趋于零、导体的热容量按T 趋于零.
晶格热容的经典困难
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经典理论中,由能量均分定理得到,原子的每一个自由度的平均能量是KBT,其中是动能和势能各占一半;则N个原子构成的三维晶体的内能为3NKBT,晶格热容为
这就是经典的杜隆-珀蒂定律,在高温下与实验结果符合很好,。
只有晶格振动的量子理论,才能正确地解释晶格热容量在低温下趋于零的实验结果.
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不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各模式对热能的贡献之和:
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式中是简正模式的波矢, 表示色散关系的第支, 是某模式上的声子数:  =通常情况下要把热能计算式中对的求和用对频率的积分来计算,为了进行这样的变换,引入简正模式密度的概念。
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定义: 在频率附近单位频率间隔中的简正模式数。用表示。(有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数) 表示在频率范围内的简正模式数,模式密度又称为声子的态密度(或能级密度),引入简正模式密度后,则热能可表示为:
1. 简正模式密度
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(1)一维晶体的模式密度
满足周期性边界条件的K所占长度:
则模式密度满足:
一维波矢空间单位体积的模式数(波矢空间态密度):
其中2表示一维波矢空间中的色散关系为左右对称的两部分
得到模式密度:
若vg=0,则模式密度发散,出现一个奇点,这个奇点叫做一
维模式密度的Van Hove奇点,在奇点,晶体的热学性质要出现反常。
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One dimensional monatomic lattice
D()

k
D(k)
L/2
-/a
/a
0
(N/)(M/C)1/2
(4C/M)1/2
0
Total number of modes
推导出此式
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