排列组合综合应用问题.ppt

排列组合综合应用题
回顾
引入:前面我们已经学习和掌握了排列组合问题
的求解方法,下面我们要在复习、巩固已掌握的方
法的基础上,学习和讨论排列、组合的综合问题。
和应用问题。
问题:解决排列组合问题一般有哪些方法?应注
意什么问题?
解排列组合问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法
原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原
理,可用位置法;上述两种称“直接法”,当问题的反面简单
明了时,可通过求差排除法,采用“间接法”;另外,排列
中“相邻”问题可采用捆绑法;“分离”问题可用插空法等。
解排列组合问题,一定要做到“不重”、“不漏”。
(一).有条件限制的排列问题
例1:5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。
①a,e必须排在首位或末位,有多少种排法?
②a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法?
③ a,e排在一起多少种排法?
④ a,e不相邻有多少种排法?
⑤ a在e的左边(可不相邻)有多少种排法?
解: ①(解题思路)分两步完成,把a,e排在首末两端有
A22种,再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法
共有A22. A33=12(种)排法。
要求:开动脑筋,积极思维,不同解法,大胆说出。
点评:问题①是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置
的问题,处理这类问题的原则是:有条件限制的元素或位置
优先考虑。(优限法)

解: ②(解题思路1)先从b,c,d三个选其中两个
排在首末两位,有A32种,然后把剩下的一个与a,e
排在中间三个位置有A33种,由乘法原理:
共有A32. A33=36种排列.
点评:上述运用了“优限法”,既有条件限制的位
置优先考虑的原则,这种解法是直接法。
②a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法?
解:③(解题思路)a,e排在一起,可以将a,e看成一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列,有A44种; a,e两个元素的全排列数为A22种,由乘法原理共有A44. A22(种)排列。
说明:相邻元素排在一起,相当捆绑起来,既“捆绑法”,
捆绑的元素还必须进行全排列。
解:④(解题思路)a,e不相邻的反面是a,e相邻,反面明了,可利用“排除法”,即用5个元素的全排列数A55,扣除a,e排在一起排列数A44. A22,则a,e不相邻的排列总数为A55- A44. A22(种)
对不相邻元素的排列问题,一般的还可以利用“插空法”解决。即把a,e以外的三个元素全排列有A32种,再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种,由乘法原理共有A32. A42 (种)
③ a,e排在一起多少种排法?
④ a,e不相邻有多少种排法?
说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空法”对反面明了的,可用“排除法”
解: ⑤:(解题思路) a在e的左边(可不相邻),这表明a,e只有一种顺序,但a,e间的排列数为A22,所以,可把5个元素全排列得排列数A55,然后再除以a,e的排列数A22。所以共有排列总数为A55 / A22(种)
注意:若是3个元素按一定顺序,则必须除以排列数 A33。
点评:排列应用题是实际问题的一种,其指导思想:弄
清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方法。本
例是排列的典型问题,解题方法可
借鉴。排列问题思考比较抽象,
“具体排”是一种把抽象转化具体
的好方法。
⑤ a在e的左边(可不相邻)有多少种排法?
例2:已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
求含有5个元素,且其中至少有两个是偶数的子
集的个数。
(二)有条件限制的组合问题:
解法1:5个元素中至少有两个是偶数可分成三类:
①2个偶数,3个奇数;②3个偶数,2个奇数;③4个偶数,
1个奇数。所以共有子集个数为
++=105
解法2:从反面考虑,全部子集个数为A95,而不符合条件
的有两类: ①5 个都是奇数;②4个奇数,1个偶数。所以
共有子集个数为C95-C55-=105
(三)排列组合混合问题:
例3:从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同
学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5项工作。
一共有多少种分配方案。
解1:分三步完成,,
有C42种,,根据乘
. A55=14400(种).
例3:从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同
学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5项工作。
一共有多少种分配方案。
解2:把工作当作元素,同学看作位置,
工作中任选3种(组合问题)分给6个男同学中的3人(排列