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泰勒公式及其应用
本文论述了泰勒公式的一些基本内容,并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。
关键词:泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数
一、泰勒公式及其余项
1:泰勒公式
对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式,
称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数称为泰勒系数。
2:泰勒余项
定理1:若函数在点存在直到阶导数,则有;即其中称为泰勒公式的余项。
形如的余项称为佩亚诺型余项。
特殊的当时;
称为(带有佩亚诺型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式。
定理2:(泰勒定理) 若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点(a,b)使得
其中,
,
称为拉格朗日型余项。
特殊的当时;
称为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式。
泰勒公式的应用
利用泰勒公式求极限
求极限
解:
因而求得
例2,设函数在上二次连续可微,如果存在,且在上有界,求证:
证:要证明,即要证明:,当x>时,
利用泰勒公式,,
即⑴
记因有界,所以,使得
故由⑴知⑵
,,使得,然后将固定.
因,所以,当时
从而由⑵式即得
例3,设⑴在内是阶连续可微函数,此外
⑵当时,有,但是;
⑶当时,有
①
其中
证明:
证:我们要设法从①,我们将①⑵,知使得.,
于是⑴式变成
从而
因利用的连续性,
由此可得
证明中值公式
例4,设在上三次可导,试证:使得
⑴
证:(待定常数法).设为使下式成立的实数
⑵
这时,我们的问题归为证明:使得⑶
令⑷
则
根据罗尔定理,,使得,由⑷式,即:
⑸
这是关于的方程,注意到在点处的泰勒公式:
⑹