线性方程组的迭代法.doc

第四章线性方程组地迭代法
第一节迭代法及其收敛性
 
一、迭代法地一般格式
在前面我们已经介绍了解线性方程组
(1)
地一些直接方法,下面我们将简略介绍一下解方程组(1)地另一类方法——迭代法,所谓迭代法是这样一种方法,对任意给定初始近似,按某种规则逐次生成序列
使极限
(2)
为方程组(1)地解,即
设把矩阵A分解成矩阵N和P之差
其中N为非奇异矩阵,于是,方程组(1)便可以表示成
即
(3)
其中,据此,我们便可以建立迭代公式
(4)
我们称迭代公式(4)中地矩阵B为迭代矩阵.
若序列收敛
显然有
即,极限便是所求方程组地解.
定义1(1)对给定地方程组(3),用公式(4)逐步代入求近似解地方法称为迭代法.
(2) 如果存在(记为),则称迭代法收敛,此时就是方程组地解,否则称此迭代法发散.
为了讨论迭代公式(4)地收敛性,我们引进误差向量.
(5)
由(3)和(4)便得到误差向量所满足地方程
(6)
递推下去,最后便得到
(7)
 
二、迭代法地收敛性
若欲由(4)所确定地迭代法对任意给定地初始向量都收敛,则由(7)确定地误差向量应对任何初始误差都收敛于0.
定义2若
(8)
则称矩阵序列依范数‖·‖收敛于.
由范数地等价性可以推出,在某种范数意义下矩阵序列收敛,,对矩阵序列收敛到矩阵,记为
(9)
而不强调是在那种范数意义下收敛.
从定义及矩阵地行(列)范数可以直接推出下面定理.
定理1 设矩阵序列及矩阵,则收敛于地充分必要条件为
,
因此,,还可以推出下面定理.
定理2 迭代法(4)对任何都收敛地充分必要条件为
(10)
定理3 矩阵序列收敛于0地充分必要条件为
(11)
证明:如果,则在任一范数‖·‖意义下有
而由第六节定理4有
所以必有

反之,若则存在足够小地正数,使,则第六节定理5可知,存在范数使,.于是
因为
所以
即
定理 4:迭代法(4)对任意都收敛地充分必要条件为 
三、迭代法地收敛速度
考察误差向量
设B有n个线性无关地特征向量,相应地特征值为,由
得
可以看出,当愈小时,愈快,即愈快,故可用量来刻划迭代法地收敛快慢.
现在来确定迭代次数k,使
(12)
取对数得
定义3 称
(13)
为迭代法(4)地收敛速度.
由此看出,愈小,速度R(B)就愈大,(12)式成立所需地迭代次数也就愈少.
由于谱半径地计算比较困难,因此,可用范数‖B‖来作为地一种估计.
定理5 如果迭代矩阵地某一种范数,则对任意初始向量,迭代公式(4)收敛,且有误差估计式
(14)
或
(15)
证明利用定理4和不等式,可以立即证得收敛地充分条件,下面推导误差估计式.
因为方程组地精确解,则
又,则由第六节定理7可知,I-B可逆,且
由于

两边取范数即得
又由于
所以,即
有了定理5地误差估计式,在实际计算时,对于预先给定地精度,若有
,还可以用第二个估计式(15)来事先确定需要迭代地次数以保证
第二节雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法
 
一、雅可比迭代法
设线性方程组
(1)
地系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令

并将A分解成
(2)
从而(1)可写成

令

其中. (3)
以为迭代矩阵地迭代法(公式)
(4)
称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量地分量来表示,(4)为
(5)
其中为初始向量.
由此看出,雅可比迭代法公式简单,,以存放及.
例1 用雅可比迭代法求解下列方程组
解:将方程组按雅可比方法写成
取初始值按迭代公式
进行迭代,其计算结果如表1所示
表1

0
1
2
3
4
5
6
7
0






…
0






…
0






…
 
二、高斯—塞德尔迭代法
由雅可比迭代公式可知,在迭代地每一步计算过程中是用地全部分量来计算地所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出地最新分量没有被利用,从直观上看,,对这些最新计算