不等式证明的常用方法.doc

不等式证明的常用方法
17世纪之后,不等式的理论成为数学理论的重要组成部分。经过高斯、柯西、切贝晓夫等对不等式问题的研究,该理论得到非常快的发展,人们也一直在对不等式进行不断的完善,取得许多重要成果。不等式不仅有重要的理论意义,在实践方面运用于工程技术领域对它的生产有很大的作用。证明不等式的方法不仅有丰富的逻辑推理、也很讲究的不等变形和恒等技巧问题,为什么不等式证明的问题辅导老师觉得难讲、学生不会做呢?很大的原因是因为我们常见和常用的方法经常不知道怎么用,因此,我想有必要对不等式的证明方法进行总结归纳。
一、比较法
比较法是分为做差比较和作商比较,它是不等式证明中常用到的方法的之一,是中学数学不等式证明中最基础、最重要的方法。
求差法的理论依据是不等式的基本性质:.
其一般的步骤为:
作差:对要比较大小的两个数作差;
变形:对差进行因式分解或配方成几个数或式的完全平方和;
判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
若两个正数作差比较困难,:
其一般的步骤为:
(1)作商:对要比较大小的两个数作商(除数不能为0);
(2)变形:对商式进行变形,转换为其相应的等价不等式;
(3)判断商的值:结合变形的结果及题设条件判断商的值大于还是小于1。
总结:一般的,证明对数不等式、整式不等式常用作差法;证明幂、指数不等式常用作商法。在证明过程中最重要的是“变形”,他和一般的化简有所不同。“变形”的方法很多有:配方法、因式分解法、通分法等,总而言之就是到达能够判断差于0的大小;商于1的大小。
二、分析法
分析法是用分析论证,“若A则B”这个问题模式是:欲证B的真,只需证明B1的真,从而又……,只需证明A为真,故B真。可见分析法是拿果索因,步步寻求上一步成立的充分条件,写出简要的形式为:
这就是假设不等式成立,然后利用不等式的基本条件,逐步推演,变形,最后得到一个简单明显成立或已证明成立的不等式;而推证又可逆,我们就可以判定不等式成立,这种方法是我们证明不等式的基本方法之一。
总结:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否成立的问题。如果能够肯定这些充分条件成立,那么就可以判断原不等式成立,这就是分析法。一般情况是直接推理不容易,就从结论找条件来推理。
三、综合法
综合法利用已知事实和一些性质和定理作为基础,在分析题目条件过后,由因得到结果。这是经过环环相扣的逻辑推理,水到渠成的推出我们要要证明的不等式的过程。
四、换元法
五、放缩法
总结:构造函数法是证明不等式的一个重要方法,其实质是用已知条件中的元素为“元件”,用已知数学关系为“支架”,构造出相应的函数模型,从而使不等式问题转化为函数问题并得以证明,因此,如何构造函