高等代数课件PPT之第1章多项式.ppt

高等代数
多项式
行列式
线性方程组
矩阵
二次型
线性空间
线性变换
欧几里得空间
第1章多项式
多项式理论是高等代数的重要内容之一。它不但为高等代数所讲授的基本内容提供了理论依据,其中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常用到。本章介绍一元多项式的基本理论。
第1章多项式
数域
一元多项式
整除的概念
最大公因式
因式分解定理
重因式
多项式函数
复系数与实系数多项式的因式分解
有理系数多项式
1 数域
要说的话:对所要讨论的问题,通常要明确所考虑的数的范围,不同范围内同一问题的回答可能是不同的。例如,x2+1=0在实数范围与复数范围内解的情形不同。
常遇到的数的范围:有理数集、实数集、复数集
共性(代数性质):加、减、乘、除运算性质
有些数集也有与有理数集、实数集、复数集相同的代数性质
为在讨论中将其统一起来,引入一个一般的概念——数域。
1 数域
,其中
、差、积、商
(除数不为零)仍在P中,则称P为一个数域.
常用到的数域:有理数域Q 、实数域R、复数域C.
,如果对
于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算
封闭,则称P为一个数域.
例1 所有形如(a、b是有理数)的数 构成一个数域.
解(i)
(ii)
(任何数域都包含有理数域作为它的一部分)
证:设P为一个数域.
由定义知1P,又P对加法封闭知:1+1=2,
1+2=3,…P包含所有自然数;
由0P及P对减法的封闭性知:P包含所有负
整数,因而P包含所有整数;
任何一个有理数都可以表为两个整数的商,
由P对除法的封闭性知:
任何数域都包含有理数域作为它的一部分.
2 一元多项式(以固定数域P为基础)
(文字),
称为系数在数域P中的一元多项式,简称为数域P上的一元多项式.
i 次项
i 次项系数
首项(an0)符号x 可以是为未知数,
也可以是其它待定事物.
几个概念:
零多项式——系数全为0的多项式
多项式相等—— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系
数全相等(系数为零的项除外)
多项式 f (x)的次数——f (x)的最高次项对应的幂
次,记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
如: f (x) =3x3+4x2-5x+6的次数为3,即
deg (f (x))=3

例 f(x)=2x2+3x–1,g(x)=x3+2x2-3x+2,则
f (x)+g(x) =(2x2+3x–1)+(x3+2x2-3x+2)
f (x)g(x) =(2x2+3x – 1)(x3+ 2x2- 3x+2)
乘法较为复杂,应用竖式方便、明了:
f (x)-g(x) =(2x2+3x–1)-(x3+2x2-3x+2)