高等数学5-4修改 PPT课件.ppt

复习:微积分基本定理
(牛顿-莱布尼茨公式)
定积分的换元法
定积分的分部积分法
反常积分
高等数学第五章第六节 11-01
第六节
定积分在几何中的应用
高等数学第五章第六节 11-02
一、微元法
三、旋转体的体积
二、平面图形的面积
高等数学第五章第六节 11-03
四、在医学方面的应用(第七节自学)
高等数学第五章第六节 11-04
定积分是求某种总量的数学模型,它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有广泛的应用。在学习的过程中,我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式,更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法----微元法,不断积累和提高数学的应用能力。
一、微元法
通过对曲边梯形的面积,变速直线运动的路程的分析,采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么:
(1)究竟哪些量可以通过定积分来求值?
(2)实际问题转化为定积分的过程能否简化?
为了说明微元法,我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。
(1) 分割:任意划分[a,b]为n个小区间
相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形
则曲边梯形的面积为
(2)近似替代:
则有
(4) 取极限:
(3) 求和:
即
若我们所要求的量 A 符合条件:
(1) A 与某个变量 x 及其变化区间[a,b],以及定义在该区间上的某一连续函数 f(x) 有关;
(2)A 在[a,b] 上具有可加性,即若把区间[a,b] 分成许多小区间,则相应把所求量 A 分成许多部分量,而 A 等于所有部分量之和,
究竟哪些量可以通过定积分来求值?
(3)部分量可表达成
且误差为
则 A 可考虑用定积分来表达。
实际问题转化为定积分的过程能否简化?
(1) 根据问题的具体情况,选取适当的积分变量 x或y,并确定它的变化区间[a,b];
(2) 在[a,b] 的任一子区间[x,x+ x] 上,找出相应增量A 的近似表达式
建立元素关系式
注意:这样表示的前提条件是:
否则可能造成失误。
这里,称 dA 为量A的元素或微元。
(3)以所求量A的微元为被积表达式,写出在[a,b] 上的定积分,即得所求量 A 的积分表达式
上述这种通过微元解决问题的方法称为微元法。