一、广义积分
二、综合练习
第五章第五讲
一、广义积分
(一)无穷限的广义积分
定义1。设函数在区间上连续,取b>a,
如果极限存在,则称此极限为在此区间的
广义积分,记为即这时也称
广
义积分收敛;如果上述极限不存在,则称广义积分
发散。
类似的,设函数在区间上连续,取
如果极限存在,则称此极限为在
上的广义积分,记作即
设在连续,如果和都
收敛,则称广义积分收敛,且
,否则称此广义积分发散。
例1。判别下列广义积分的敛散性:
积分发散。
, 积分发散。
积分收敛。
例2。讨论的敛散性。
解:当时,
当时,此积分发散到
当时, 从而
当时,此积分收敛,且其值为
(二)、无界函数的广义积分。
在,则称此极限为在上的广义积分,记
定义:设函数的在上连续,而在点的
右邻域内无界,取,如果极限存
作,即,这时也称广义
积分收敛,如果此极限不存在,则称此广
义积分发散。
若类似地有
若则+
例1。判别下列广义积分的收敛性。
从而积分收敛
从而积分发散
例2。讨论的收敛性。
解: 时,
综上知:当时,广义积分收敛,当
时,广义积分发散。
作业:
二。综合练习。
例1。计算
解:原式
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