导数的几何意义
下面来看导数的几何意义:
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。
割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.
曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。
l2
l1
A
B
0
x
y
问题:研究导数的几何意义有什么作用?
结论:以直代曲是微积分中的重要的思想方法,即以简单的对象(切线)来刻画复杂的对象(曲线)。大多数的曲线就一小范围来看,大致可看成直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即以直代曲。
P
P
P
(1)求出函数在点x0处的变化率,得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即
归纳:求切线方程的步骤
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