第七节
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第十二章
傅里叶级数
10/10/2018
同济版高等数学课件
一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动:
(谐波函数)
( A为振幅,
复杂的周期运动:
令
得函数项级数
为角频率,
φ为初相)
(谐波迭加)
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系
证:
同理可证:
正交,
上的积分等于 0 .
即其中任意两个不同的函数之积在
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上的积分不等于 0 .
且有
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2的周期函数, 且
右端级数可逐项积分, 则有
证: 由定理条件,
①
②
对①在
逐项积分, 得
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(利用正交性)
类似地, 用 sin k x 乘①式两边, 再逐项积分可得
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例1. 设 f (x) 是周期为 2的周期函数,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
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