第三节函数的极限
一、函数极限的定义
1、自变量趋于有限值时函数的极限
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数极限的性质
1、自变量趋向有限值时函数的极限
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果
存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在正数,使得当x满足不等式时,
对应的函数值f(x)都满足不等式
那么常数A就叫做函数f(x)当时的极限,记作
一、函数的极限定义
或
注意:
(1)定义中的刻划f(x)与常数A的接近程度, 刻划 x
与x0 的接近程度; 是任意给定的, 是随而确定
的.
(2)定义中的,表示 x 与 x0 的距离小于,
而表示,因此表示
(3)定义中表示,所以时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0是否有定义并无关系.
当y=f(x)的图形上的点的
横坐标x在
内,但时,这些
点的纵坐标 f(x) 满足不
等式
时函数f(x)的极限定义的几何意义:
任意给定一正数,作平行于x的两条直线
给定的,存在点x0的一个邻域,
或
例1 证明,此处c为常数.
例2 利用定义证明
例5 证明:
证明: ,因为
要使
只要
不等式
左极限的定义:
如果当x从x0的左侧(x<x0)趋于x0时,f(x)以A为极
限,即对于任意给定的,总存在一个正数,使
时,
恒成立,则称A为时f(x)
或
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