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微分方程
第七章
—积分问题
—微分方程问题
推广
主要内容:
第一节微分方程的基本概念
第二节可分离变量的微分方程
第三节齐次方程
第四节一阶线性方程
第五节可降阶的高阶微分方程
第六节高阶线性微分方程及其解的结构
第七节二阶常系数齐次线性微分方程
第八节二阶常系数非齐次线性微分方程
一阶
高阶
微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
第七章
引例1.
一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
①
(C为任意常数)
由②得 C = 1,
因此所求曲线方程为
②
由①得
切线斜率为 2x ,
求该曲线的方程.
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶,
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,
已知
由前一式两次积分, 可得
利用后两式可得
因此所求运动规律为
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住,
以及制动后行驶了多少路程.
即求 s = s (t) .
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地, n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
例1. 验证函数
是微分方程
的通解,
的特解.
解:
这说明
是方程的解.
是两个独立的任意常数,
利用初始条件易得:
故所求特解为
故它是方程的通解.
并求满足初始条件
求所满足的微分方程.
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
解: 如图所示,
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即
点 P(x, y) 处的法线方程为
且线段 PQ 被 y 轴平分,