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一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
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连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和, 差, 积,
( 利用极限的四则运算法则证明)
商(分母不为 0) 运算,
结果仍是一个在该点连续的函数.
例如,
例如,
在
上连续单调递增,
其反函数
(递减).
(证明略)
在[-1 , 1] 上也连续单调递增.
递增
(递减)
也连续单调
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定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
在
上连续单调递增,
其反函数
在
上也连续单调递增.
证: 设函数
于是
故复合函数
又如,
且
即
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例如,
是由连续函数链
因此
在
上连续.
复合而成,
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例1 .
设
均在
上连续,
证明函数
也在
上连续.
证:
根据连续函数运算法则,
可知
也在
上
连续.
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二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续
例如,
的连续区间为
(端点为单侧连续)
的连续区间为
的定义域为
因此它无连续点
而
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例5. 设
解:
讨论复合函数
的连续性.
故此时连续;
而
故
x = 1为第一类间断点.
在点 x = 1 不连续,
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内容小结
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数的四则运算的结果连续
连续函数的反函数连续
连续函数的复合函数连续
初等函数在定义区间内连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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