初高中数学衔接知识点 配套练习.doc

第一讲数与式的运算
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,(多项式、单项式)、分式、,,我们学方公式),,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,,还要补充“繁分式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】
证明:

等式成立
【例1】计算:
解:原式=
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式2】(立方和公式)
证明:
说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算:
解:原式=
我们得到:
【公式3】(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式1、2、3均称为乘法公式.
【例3】计算:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=

说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.
【例4】已知,求的值.
解:
原式=
说明:本题若先从方程中解出的值后,再代入代数式求值,,用整体代换的方法计算,,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知,求的值.
解:
原式=
①

②,把②代入①得原式=
说明:注意字母的整体代换技巧的应用.
引申:同学可以探求并证明:

二、根式
式子叫做二次根式,其性质如下:
(1) (2)
(3) (4)
【例6】化简下列各式:
(1) (2)
解:(1) 原式=
(2) 原式=
说明:请注意性质的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1) (2) (3)
解:(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如).这时可将其化为形式(如可化为) ,转化为“分母中有根式”,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如化为,其中与叫做互为有理化因式).
【例8】计算:
(1) (2)
解:(1) 原式=
(2) 原式=

说明:有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9】设,求的值.
解:
原式=
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
解法一:原式=
解法二:原式=
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,.
【例11】化简
解:原式=

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
第二讲因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,、.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法