6 特征值、特征向量及相似矩阵.doc

6 特征值、特征向量及相似矩阵
内容提要
向量的内积

设,称()为向量与的内积。

(1);
(2);
(3);
(4) 当且仅当时。


若,则称与正交

设,若,则称是一个正交向量组。

若n维向量是一组两两正交的向量组,则线性无关。
(正交规范基)
正交向量组构成的基称为正交基。
两两正交,且都是单位向量的基称为标准正交基。
(施密特正交化方法)
设线性无关。
(1)正交化
取
……
(2)单位化
,,……,
正交矩阵
,则称为阶正交阵。
。
是正交矩阵的行(列)向量组的每一个向量都是单位向量且两两正交。

(1)若为正交矩阵,则也是正交矩阵。
(2)若,均为正交矩阵,则也是正交矩阵。
(3)若是正交矩阵,则。
(4)正交变换:为阶正交矩阵,为维列向量,若,则称此变换为正交变换。
矩阵的特征值与特征向量

设为阶矩阵,若存在常数和非零维向量,使,则称为的特征值,是的属于特征值入的特征向量。

称为的特征多项式
为的特征方程。

(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的;
(2)实对称阵属于不同特征值的特征向量是正交的;
(3)与T有相同的特征值。
(4)设若是的特征值,则是的特征值。
(5)是n阶矩阵A的特征值,则,

(1)计算的特征多项式
(2)求出特征方程的全部根即为的全部特征值。
(3)对每个,求出齐次线性方程组的基础解系则即为矩阵的属于特征值的特征向量。
相似矩阵

设,是n阶矩阵,若存在可逆距阵,使,则称矩阵与
相似,记为~。

(1)反身性:~;
(2)对称性:若~,则~;
(3)传递性:若~,~C,则~C;
(4)若~,则T~T;
(5)若~,且,都可逆,则-1~-1;
(6)若~,则n~n,();
(7)相似矩阵有相同的特征多项式,特征值;
(8)相似矩阵的行列式相等;
(9)相似矩阵的秩相等;
(10)相似矩阵有相同的迹。

(1)定义:若阶矩阵与对角阵相似,则称可对角化。
(2)阶矩阵可对角化的条件;
①充要条件:有个线性无关的特征向量。
②充分条件:若有个不同的特征值,则可对角化。
(3)矩阵对角化方法
①求的特征值
②解方程组,求其基础解系。
基础解系的解向量即为的属于特征值的特征向量。
③以的特征向量为列,按特征值的顺序从左往右构成可逆距阵P;
④与特征向量相对应,将写在矩阵主对角线上构成对角阵
⑤写出相似关系式:;
(4)实对称阵的对角化结论:
①实对称阵的特征值都是实数;
②实对称阵属于不同特征值的特征向量为正交;
③实对称阵一定可对角化。
重点
1 特征值,特征向量的定义及求法;
2 矩阵的相似对角化;
实对称阵对角化的步骤:
①求出的特征值和属于的特征向量;
②将的属于同一个特征值的特征向量正交化;
③将全部向量单位化;
④将正交单位化后向量为列且按在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵
⑤写出关系式T=
3 矩阵相似的判定
典型习题
特征值,特征向量的求法
例1 求矩阵的特征值与特征向量。
解


得到矩阵的特征值是,
当时,由,即
得基础解系,因此属于特征值的特征向量是(,不全为零)
当时,由,即
得基础解系,因此属于特征值的特征向量是()
注:特例
(1)则,,;
(2)
则,
例2 设矩阵,,求的特征值与特征向量,为的伴随矩阵,为三阶单位阵。
解:设的特征化为,特征向量为,而,由于,
∴,又且,
而∴的特征值为。对应的特征向量为。
由于
时,,
时,
由于得
而的特征化为9,9,3。
例3 设n阶方阵
(1)求的特征值和特征向量;
(2)求可逆阵,使为对角阵。
解(1)当时,,则特征值为。又因,即任何非零列向量均为1的特征向量对
可逆阵,有
(2)当时,


故的的特征值为,。
当时
原方程组的同解方程组为
令,,…,, ,为特征向量。所以全部特征向量为()
或设为的一个特征向量
则
易知满足该等式
从而可知结论.
当时
故基础解系为



全部特征向量为,不全为零
令有
.
例4