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中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容
一、函数、极限、连续
、简单应用问题的函数关系的建立。
:有界性、单调性、周期性和奇偶性。
、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初
等函数。
、函数的左极限与右极限。
、无穷小的性质及无穷小的比较。
、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。
(含左连续与右连续)、函数间断点的类型。
。
(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。
二、一元函数微分学
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之
间的关系、平面曲线的切线和法线。
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。
5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘。
8. 函数最大值和最小值及其简单应用。
9. 弧微分、曲率、曲率半径。
三、一元函数积分学
1. 原函数和不定积分的概念。
2. 不定积分的基本性质、基本积分公式。
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。
6. 广义积分。
7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值。
四、常微分方程
1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程。
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理。
5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程。
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积。
7. 欧拉(Euler)方程。
8. 微分方程的简单应用。
五、向量代数和空间解析几何
1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积。
2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角。
3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦。
4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程。
5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离。
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程