必修五不等式知识点.doc

不等式的基本知识
(一)不等式与不等关系
1、应用不等式(组)表示不等关系;不等式的主要性质:
(1)对称性: (2)传递性:
(3)加法法则:;(同向可加)
(4)乘法法则:;
(同向同正可乘)
倒数法则:
(6)乘方法则:
(7)开方法则:
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论)
3、应用不等式性质证明不等式
(二)解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集:
设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:



二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R


2、简单的一元高次不等式的解法:
标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。
3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
(三)线性规划
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(),把它的坐标()代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
3、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
②线性目标函数:
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:
(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
(四)基本不等式
,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
,b是正数,那么
变形: 有:a+b≥;ab≤,当且仅当a