高考数学平面向量知识点及相关题型.docx

平面向量
1、向量:既有大小,又有方向的量。向量不能比较大小,只可以判断是否相等,向量的模可以比较大小。
数量:只有大小,没有方向的量。数量可以比较大小,也可以判断是否相等。
2、有向线段的三要素:起点、方向、,对于模相等且方向相同的两个向量,无论他们的起点在哪里,都认为这两个向量相等。
零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
3、向量既有代数特征又有几何特征,可以起到数形结合的作用。
4、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:
①交换律:;
②结合律:;③.






⑸坐标运算(坐标加减):设,,
则.
5、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
6、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,则.
【向量相等,坐标相同;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关】
7、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
[练习]设a,b是两个不共线的向量,,若A,B,D三点共线,则实数p的值是
对于(均为实数),若A,B,C三点共线,则,反之仍然成立。
[练习]如图所示,在中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若,则m+n的值为
8、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底)
[练习]在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是
A,e1=(0,0),e2=(1,2)B, e1=(-1,2),e2=(5,-2)C, e1=(3,5),e2=(6,10)D,e1=(2,-3),e2=(-2,3)
【解题】
用已知向量表示另外一些向量,除了利用向量加减法和数乘运算外,还充分利用平面几何的一些定理。
在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。
常要用到相似三角形对应边成比例,三角形中位线等平面几何的性质。
[练习]
在中,点M,N满足,则x= ,
y=
2、如图,已知平面内有三个向量,其中的夹角为120度,的夹角为30度,且,则的值为
9、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.(当
10、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
的几何意义:等于的长度与在的方向上的投影的乘积
[练习]已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为
⑵性质:设和都是非零向量
①
②当与同向时,;当与反向时,;或
③.
两向量夹角的范围为,求夹角时一定要注意两向量夹角