用MATLAB求解微分方程.ppt

1. 微分方程的解析解
求微分方程(组)的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结果:u = tan(t-c)
用MATLAB求解微分方程
解输入命令:dsolve('Du=1+u^2','t')
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解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结果为: y =3e-2xsin(5x)
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解输入命令:
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't');
x=simple(x) % 将x化简
y=simple(y)
z=simple(z)
结果为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t
y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t
z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
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2. 用Matlab求常微分方程的数值解
[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)
ode45 ode23 ode113ode15sode23s
由待解方程写成的m-文件名
ts=[t0,tf],t0、tf为自变量的初值和终值
函数的初值
ode23:组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法
ode45:运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
自变量值
函数值
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),
命令为:options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),
rt,at:分别为设定的相对误差和绝对误差.
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1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
注意:
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解: 令 y1=x,y2=y1’
1、建立m-:
function dy=vdp1000(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
2、取t0=0,tf=3000,输入命令:
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),'-')
3、结果如图
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解 1、建立m-:
function dy=rigid(t,y)
dy=zeros(3,1);
dy(1)=y(2)*y(3);
dy(2)=-y(1)*y(3);
dy(3)=-*y(1)*y(2);
2、取t0=0,tf=12,输入命令:
[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线.
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导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,(是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,,导弹将它击中?
解法一(解析法)
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由(1),(2)消去t整理得模型:
赫轩惯肌靡牢睦刽松响液苏