函数奇偶性和单调性.doc

学生编号
学生姓名
年级
高一
辅导学科
数学
授课教师

教材版本
沪教版
课题名称
函数的性质1
奇偶性与单调性
剩余课时
( )课时
授课时间
年月日
教学目标
掌握奇、偶函数的定义,理解奇偶函数的必要条件,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;
理解和掌握奇、偶函数的图像特征,能利用函数的奇偶性作一些简单函数的图像;
3、掌握函数单调性的定义,掌握单调区间、增减函数、单调函数的概念,理解函数在区间上为单调函数与函数是单调函数的异同点,会利用函数单调性的定义判断一些简单函数.
重点难点
函数奇偶性、单调性的判定,以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法.
【知识要点】

一、函数的奇偶性
奇偶性定义:设函数,任取,有,则称函数为偶函数;
,则称函数为奇函数.
性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;
(2)由知,若则,因此,函数的定义域关于原点对称是函数为偶(奇)函数的必要条件(非充分)
(3)若,则是为奇函数的必要条件(非充分)
(4)常数函数一定是偶函数;若则既是偶函数又是奇函数;函数既是偶函数又是奇函数(,其中是关于原点对称的任何一个非空数集)
(5)奇偶函数的图像特征:函数是奇函数函数图像关于原点对称;
函数是偶函数函数图像关于轴对称.
奇偶函数的运算性质:设为奇函数,为偶函数,则在上有:
奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇;
(7)多项式函数为奇函数偶次项系数全为0;
多项式函数为偶函数奇次项系数全为0.
二、函数的单调性
单调性定义(唯一证明方法):对于区间上的函数,在上任取两个
若称在区间上是增函数,区间成为函数的单调增区间;
若称在区间上是减函数,区间成为函数的单调减区间.
性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数在整个定义域上单调,则称为单调函数.
(2)函数单调性二个等价形式:
在上单调递增(递减);
‚在上单调递增(递减).
(3)若在上单调递增,则;若在上单调递减,则________.
(4)设则在上是增(减)函数.
(5)单调性与奇偶性:若奇函数在区间上单调递增(减),则在区间上单调递增(减);若偶函数在区间上单调递增(减),则在区间上单调递减(增);
复合函数单调性:两个单调函数与复合,不论复合结果是还是,有如下性质:若与单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若与单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.
单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,,,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为在区间上是增(减),在区间上也是减函数,,若取,有.
【经典例题】
一、函数的奇偶性
题型一判断并证明函数的奇偶性
方法:
(1)定义法:,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断或是否定义域上的恒等式;
(2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性.
说明:
(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;
(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称;
(3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;
(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数.
:
(1); (2)
(2) (4)
(5)
(6)已知函数满足:,且,则函数的奇偶性为________.
题型二利用奇偶性求函数式或函数值
:
,又当时,试求的解析式.
,当时,,求当时,得解析式.
,,当时,,求的值.
,在区间上递增,且有,求的取值范围.
,若,求的值.
,则________.
,是奇函数,且,试求的表达式.
题型三逆用函数奇偶性求参数的值
,求实数的值。
,则实数=________.
,若为奇函数,求实数的取值。
题型四奇偶函数的图象关系及其运用