高等数学一元函数积分学.ppt

第三章一元函数积分学(20%)
一、不定积分
二、定积分
三、定积分的应用
本讲出题在10分—18分之间,考点不多,一般在选择题、填空题、计算题中出现,不定积分是定积分的基础,定积分又是二重积分、曲线积分的基础,技巧性比较大,希望同学们多练习。
本讲重点:(1)原函数、不定积分的概念和性质。(2)直接积分方法、换元积分法。(3)凑微分技巧。
本讲难点:综合利用积分方法求不定积分。
考试点津:
;
;
;
;又可细分为凑微分法(重点)与变量代换法(主要是去根号);
。
有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考,用前面的方法也可解决。
本章重点考核的知识点
第一节不定积分
(一)、不定积分的概念与性质
(二)、不定积分的基本公式
第三章一元函数积分学
2011年考了16分
(三)、换元积分法
(四)、分部积分法
(一) 不定积分的概念与性质
1. 原函数
设是定义在某区间上的已知函数,如果存在一个函数,使对于该区间任意,都有关系式:
或
成立,则称函数为函数在该区间上的一个原函数。
例
又因为:
所以显然, , , 都是的一个原函数。
★由此不难得出:
(1)一个函数的原函数不惟一,且有无穷多个。
(2)同一函数的原函数之间只相差一个常数。
(3)若为的一个原函数,则表示的所有原函数。
任意常数
积分符号
被积函数
被积表达式
积分变量
称为在该区间I上的不定积分。
即:
设是在区间I上的一个原函数,则函数的全体原函数(c为任意常数)
2. 不定积分
(一) 不定积分的概念与性质
设函数
在某区间上的一个原函数为
,则
在几何上表示一条曲线,称为积分曲线。而
的全部积分曲线
所组成的积分曲线族。其方程为
的图象显然可由这条曲线沿
或向下平行移动就可以得到,这样就得到一族曲线, 因此,不定积分的几何意义是
轴向上
设函数
在某区间上的一个原函数为
,则
在几何上表示一条曲线,称为积分曲线。而
所组成的积分曲线族。其方程为
的图象显然可由这条曲线沿
或向下平行移动就可以得到,这样就得到一族曲线, 因此,不定积分的几何意义是
轴向上
设函数
在某区间上的一个原函数为
,则
在几何上表示一条曲线,称为积分曲线。而
如下图所示:
(一) 不定积分的概念与性质
3. 不定积分的几何意义