例谈解析几何多元方程组问题的计算策略.doc

例谈解析几何多元方程组问题的计算策略.DOC例谈解析几何多元方程组问题的计算策略
解析几何涉及到复杂的计算问题,这些计算问题主要是多元方程组的解法问题,
下面我们以一道高考题为例探讨解析几何中方程组的解法.
原题:双曲线与椭圆有相同的焦点,直线为的一条渐近线.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线交双曲线于、两点,交轴于点(点与的顶点不重合).
当,且时,求点的坐标.
解:(1)设双曲线方程为().
由题意: ,,∴,.
∴双曲线的方程为.
(2)解法一:由题意知直线的斜率存在且不为零.
设直线的方程为:,则可求.
设,,
∵, ,,
∴∴
∵)在双曲线上,
∴,
∴.
同理有:
若,则, 过顶点,不合题意, ∴,
∴,是一元二次方程的两个根,
∴,∴,验知, ∴,
∴所求点的坐标是.
仔细分析上面的解法,我们发现本题中涉及7个未知数,它们是:
.
上面的解法先把作为一组,构建关于的一元二次方程,再把作为一组,构建关于的一元二次方程,由于这两个运算过程完全相同, 两个一元二次方程也完全相同,因此,是同一个一元二次方程的两个根,然后就可以利用一元二次方程的根与系数的关系了.
本题第(2)问我们一般采用下面的解法,但是比上面的解法计算量还要大,具体过程如下:
解法二:把代入双曲线的方程为并整理得:
,
当时,直线与双曲线只有一个交点,不合题意,故
∴,.
由已知, (1)
, (2)
又,
故由(1)得: ,
由(2)得: ,
∴,
解得:,验知, ∴,∴所求Q点的坐标是(2,0).
如果考虑结论中涉及到的+怎样用表示,刚才提供的解法二可以演变为下面的解法:
解法三:
,然后把,,
代入上式化简得: ,解得:,验知, ∴,
∴所求Q点的坐标是(2,0)
三种解法的内在联系:
前面已经谈到本题共涉及到7个未知数,事实上,由已知,
我们有以下9个方程组成的方程组,它们是:
(1)
(5)
(2)
(6)
(9)
(3)
(7)
(4)
(8)
仔细分析题意,不难发现用(1)(2)可以导出(3), 用(5)(6)可以导出(7),因此上面的9个方程实际上等价于7个独立的方程. 为了求出,需要通过合理的消元,解法一利用(1)、(2)、(4)、(5)、(6) 、(8)、(9) 这7个方程组成的方程组;解法二、三利用(1)、(3)、(4)、(5)、(7) 、(8)、(9) ,下标为1的未知数为一类, 下标为2的未知数为另一类,这两类未知数涉及到的方程具有共