函数的周期性与对称性总结.doc

在已知条件或
中,
(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数,如,说明的图像具有对称性,其对称轴为。
(2)等式两端的两自变量部分相减得常数,如,说明 f(x)的图像具有周期性,其周期T=a+b。
设为非零常数,若对于定义域内的任意恒有下列条件之一成立
周期性规律对称性规律
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
(4) (4)
(5) (5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) ,
(11) 若函数同时关于直线, 对称则函数的周期
(12) 若函数同时关于点, 对称,则函数的周期
(13) 若函数同时关于直线对称,又关于点对称则函数的周期
(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且T=2
(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且T=4
(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R,T≠0),则f()=0. ⒈若的图象关于
两类易混淆的函数问题:对称性与周期性
例1. 已知函数y= f(x)(x∈R)满足f(5+x)= f(5-x),问:y= f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?
例2. 已知函数y= f(x)(x∈R)满足f(x+5)= f(x-5),问:y= f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?
定理1:如果函数y= f(x)(x∈R)满足,那么y= f(x)的图像关于直线对称。
证明:设点是y= f(x)的图像上任一点,点P关于直线x=a的对称点为Q,易知,点Q的坐标为。
因为点在y= f(x)的图像上,所以
于是
所以点也在y= f(x)的图像上。
由P点的任意性知,y= f(x)的图像关于直线x=a对称。
定理2:如果函数y= f(x)(x∈R)满足f(a+x)= f(b-x),那么y= f(x)的图像关于直线的对称。
定理3:如果函数y= f(x)(x∈R)满足f(x+a)= f(x-a),那么y= f(x)是以2a为周期的周期函数。
证明:令,则
代入已知条件
得:
根据周期函数的定义知,y= f(x)是以2a为周期的周期函数。
定理4:如果函数y= f(x)(x∈R)满足,那么y= f(x)是以为周期的周期函数。赂瓮谐佛易逞橇娥铬汛蹬贸报寺阶节菱耶践烁垦腊咕硕违兰洼舀握铃蔑幕雇丑芒殴纲眼掷咒刻腔顶雨殃跨您陀篆早诡舞漠箔卸慈卿饯悍床墙扁汝魏鸭娠赖谜填希足舟他峨茹荤