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函数的单调性
函数单调性的的判断方法
除了用差分法(又称定义法)判断函数的单调性外,常用的方法还是有以下几种:

直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性,直接判断函数的单调性,并写出它们的单调区间,熟记以下几种函数的单调性:
(1)正比例函数:
当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数.
(2)反比例函数:
当时,函数的单调递减区间是,不存在单调递增区间;当时,函数的单调递增区间是,不存在单调递增区间.
(3)一次函数:
当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数.
(4)二次函数:
当时,函数的图像开口向上,单调递减区间是,单调递增区间是;当时,函数的图像开口向下,单调递增区间是,单调递减区间是.
注意:在定义域上是增函数,其图像如右图:

画出函数图象,根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.

(1)函数,当时有相同的单调性,当时有相反的单调性;如函数与的单调性相反,函
数与的单调性相同;
(2)当函数恒为正(或恒为负)时与有相反的单调性,如:函数是递增函数,则在区间是递减函数;
(3)若,则与具有相同的单调性,如:函数,在定义域上,,且是上的递减函数,是上的递增函数,所以函数是上的递减函数,是上的递增函数;
(4)若,的单调性相同,则的单调性与,,令,即
,因为函数在上单调递减,的单调递减区间是,所以函数的单调递减区间是
;
(5) 若,的单调性相反,,所以的单调性与的相同.
二、抽象函数单调性的判定
没有具体函数解析式的函数,我们称为抽象函数,判断抽象函数单调性是一类重要的题型,其解法采用差分法.
实例1 已知定义在上的函数对任意,恒有
,且当时,判断在上的单调性.
解设,则
.
,,所以函数
在上的单调递减.
复合函数单调性的判定方法
求复合函数的单调性的步骤:
求出函数的定义域;
明确构成复合函数的简单函数(所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数):;
确定简单函数的单调性;
若这两个函数同增或同减(单调性相同),则为增函数;若这两个函数一增一减(单调性相异)则为减函数简记为“同增异减”.
如下表所示:
函数
复合函数
单调性
增
增
增
减
增
减
增
减
减
减
减
增
实例2 求函数在定义域上的单调区间
解:由解析式得,,,而在上是减函数,在上是增函数,函数的递增区间为,递减区间为.
单调性的应用
用函数的单调性比较大小
利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小,即已知函数在定义域的某个区间上为增函数,若对区间内的任意两个值且
,.
示例3 已知函数在上是减函数,试比较与的大小.
解:,与都在区间内.
又在区间上是减函数,
注意:解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.
示例4 已知是定义在上的增函数,且,求的取值范围.
解是定义在上的增函数,且,可得不等式组即解得,所以所求.
用函数的单调性求最值
在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论:
若在定