函数的应用
函数与方程
方程的根与函数的零点
:一元二次方程的根与二次函数
的图像有什么关系?
先观察下面几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数,
如:
容易知道,方程
有两个实根
;
函数
的图像与x 轴有
两个交点(-1,0),(3,0),这样方程
方程
有两个相等的实根
,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根及其相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表,请填写
Δ=b2-4ac
函数y=ax2+bx+c图象
方程的实根
y=ax2+bx+c与x轴的交点
结论
Δ>0
方程的实根即函数图象与x轴交点的横坐标
Δ=0
Δ<0
无
无
=f(x),我们把使的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根
⇔函数y=f(x)的图象与有交点
⇔函数y=f(x)有点.
f(x)=0
x轴
零
由此可知,求方程f(x)的实数根,就是确定函数y=f(x)的零点。
例1 :
①②
③
探究:
观察二次函数
的图像(如下图)
我们发现函数在区间[-2,1]上有零点,
计算f(-2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在
区[2,4]上是否也具有这样的特点呢?
可以发现,
,函数
在区间(-2,1)内有零点x=-1,它是方程
,
,函数
在(2,4)内有零点x=3,它是方程
的另一个根。
一般地,对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说,
我们可以将它与函数y=f(x)联系起来,利用函数性质
找出零点,从而求出方程的根。
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