第二章 抛物线
抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦点弦长
o
x
F
y
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为,则
若的倾斜角为,则
切线
方程
直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线,
,消y得:
(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0, 直线与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线与抛物线相离,无公共点。
若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)
关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线: 抛物线,
联立方程法:
设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
相交弦AB的弦长
或
b. 中点, ,
点差法:
设交点坐标为,,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
在涉及斜率问题时,
在涉及中点轨迹问题时,设线段的中点为,,
即,
同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点是弦的中点,则有
(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
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