复变函数3.ppt

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复变函数第3讲
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三、复变函数
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(一)、复变函数的定义
定义设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作 w=f(z).
如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.
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在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.
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例如, 考察函数 w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2-y2, v=2xy
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(二)、映射的概念
如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.
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设函数w=z,
x
y
O
u
v
O
A
B
C
z1
z2
A'
B'
C'
w1
w2
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2a
设函数w=z2,
x
y
O
u
v
O
z1
z2
w2
z3
w3
a
w1
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由于函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. ()因此, 它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 x2-y2=c1, 2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1, v=c2,
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10
1
-1
-1
-10
-8
-6
-4
-2
x
2
4
6
8
v=10
1
y
-10
-8
-6
-4
-2
u=0
2
4
6
8
u
v
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-10
-10