求数列通项公式的十种方法.docx

1. 观察法(求出a1、a2、a3,然后找规律)
即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,然后利用数学归纳法加以证明即可。
,,若,求及数列的通项公式.
解:由题意可知:,
,
.
因此猜想.
下面用数学归纳法证明上式.
(1)当n=1时,结论显然成立.
(2)假设当n=k时结论成立,即.
(3)则,
即当n=k+1时结论也成立.
由(1)、(2)可知,对于一切正整数,都有.(最后一句总结很重要)
2. 定义法(已知数列为等差或者等比)
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目。
,,求的通项公式。
解:设等差数列的公差为.
因为,所以.
又因为,所以,故.
所以.


若已知数列的前n项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。(一定要讨论n=1,n≥2)
,已知
(Ⅰ)求数列的通项公式。
解:(Ⅰ)由
可得:当时, ,
当时,
而,
所以

当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为。
,且(),则数列{an}的前10项和为
解:由题意得:



当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
,求的通项公式。
解:由条件知,
在上式中分别令,得个等式累乘之,
即, 即
又
(拼凑法)-共5种题型,第2、3种方法不必掌握
1、当递推公式为(其中均为常数,且)时,通常解法是把原递推公式转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例题:已知数列满足,求的通项公式。
解:由
得
又
所以是首项为,公比为的等比数列
所以
因此数列的通项公式为.
2、当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为,其中的值由方程给出。(了解即可,不必掌握)
例题:在数列中,=2,=,求数列的通项。
解:由
得
又
所以数列是首项为,公比为的等比数列
所以,即.

3、当递推公式为(其中均为常数,且)时,通常解法是把原递推公式转化为。①若,则,此时数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,即。②若,则可化为形式