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第七章动态规划
1 海盗分金问题
5名海盗抢得了窖藏的100块金子,并打算瓜分这些战利品。
这是一些讲民主的海盗(当然是他们自己特有的民主),他们的习惯是按下面的方式进行分配:最厉害的一名海盗提出分配方案,然后所有的海盗(包括提出方案者本人)就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案,此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里,然后下一名最厉害的海盗又重复上述过程。
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里,不过,如果让他们选择的话,他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。
所有的海盗都是聪明绝顶的,而且知道其他的海盗也是聪明绝顶的。
此外,没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次,并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。
这些金块不能再分,也不允许几名海盗共有金块,因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。
最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢?
我们按照这些海盗的威望值来给他们编号。最怯懦的海盗为1,最厉害的海盗编号为5。编号为5的海盗会提出什么分配方案呢?
如果从游戏的开头出发进行分析,那是走不了多远的。
其原因在于,所有的战略决策都是要确定:“如果我这样做,那么下一个人会怎样做?”
因此在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的,而在你之前的海盗所做的决定并不重要,因为你反正对这些决定也无能为力了。
最厉害的5号海盗需要知道其他4名海盗是怎么想的.......好难猜!
对4号海盗来说,如果5号海盗被扔进海里喂鲨鱼了,他只需要猜透其余3名海盗的算盘。
对3号海盗而言,他只须猜透1号和2号海盗
对2号海盗而言,他只须猜透1号海盗
那我们就倒过来,由易到难
我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——即1号和2号——的时候。
这时最厉害的海盗是2号,而他的最佳分配方案是一目了然的:100块金子全归他一人所有,1号海盗什么也得不到。
3号海盗的分配方案:3号海盗分得99块金子,2号海盗一无所获,1号海盗得1块金子。
1号海盗知道,如果3号的方案被否决,那么最后将只剩2个海盗,而1号将肯定一无所获——此外,3号也明白1号了解这一形势。因此,只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归,那么不论3号提出什么样的分配方案,1号都将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗
4号的分配方案应是:99块金子归自己,3号一块也得不到,2号得1块金子,1号也是一块也得不到。
4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票,因此同3号一样也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子,而他可以用这块金子来收买2号海盗。因为如果4号被否决而3号得以通过,则2号将一文不名。
5号海盗的分配方案应该是:98块金子归自己,1块金子给3号,1块金子给1号。
5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗,因此至少得用2块金子来贿赂,才能使自己的方案得到采纳。
讨论:为什么贿赂1号和3号而不是4号和2号?
总结
分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时,你容易知道何种决策有利而何种决策不利。