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三角线性方程组的数值计算
实验描述
有回代的高斯消元法:如果A是N×N非奇异矩阵,则存在线性方程组UX=Y与线性方程组AX=B等价,这里U是上三角矩阵,并且ukk≠0。当构造出U和Y后,可以用回代法求解UX=Y,并且得到方程组的解X。
三角分解法:设线性方程组AX=B的系数矩阵A存在三角分解(如果非奇异矩阵A可以表示为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积:A=LU 则A存在一个三角分解),则线性方程组可以表示为 LUX=B 而方程组的解可以通过定义Y=UX并求解下面的俩个方程组得到。首先对方程组LY=B求解Y,然后对方程组UX=Y求解X。
雅可比迭代:设矩阵A具有严格对角优势,则AX=B有唯一解X=P利用迭代式(xj(k+1)=bj-aj1xk-…-ajj-1xj-1k-ajj+1xjj+1k-…ajNxN(k)ajj (其中j=1,2,…,N))可产生一个向量序列﹛Pk﹜,而且对于任意初始向量P0,向量序列都将收敛到P0。
高斯-赛德尔迭代:xj(k+1)=bj-aj1xk+1-…-ajj-1xj-1k+1-ajj+1xjj+1k-…-ajNxN(k)ajj
实验内容
设有如下三角线性方程组,而且系数矩阵具有严格对角优势:
d1x1+c1x1 =b1
a1+d2x2+c2x2 =b2
a2x2+d3x3+c3x4 =b3
. . . .
. . . .
. . . .
aN-2xN-2+dN-1xN--1xN=bN-1
aN-1xN-1+dNxN=bN
假设d1=d2=…=dn=12,b1=b2=…=bn=5;c1=c2=..=cn=a1=a2=…=an=-2;
;;
;-赛德尔迭代法计算。
实验结果及分析
高斯消元法:
分析:先做增广矩阵Aug=[A B ]
通过高斯消元法:
m=Aug(k,k-1)/Aug(k-1,k-1);
Aug(k,k:N+1)=Aug(k,k:N+1)-m*Aug(k-1,k:N+1);
从而得到上三角矩阵
向上利用
X(k)=(Aug(k,N+1)-Aug(k,k+1:N)*X(k+1:N))/Aug(k,k)
回代得到所求答案:
input N:=6
X =






三角分解法:
分析:利用指令[L,U,P]=lu(A)得出P-1×A的分解矩阵L,U
input N:=6
L =
0 0 0 0 0
- 0 0 0 0
0 - 0 0 0
0 0 - 0 0
0 0 0 - 0
0 0 0 0 -
U =
- 0 0 0 0
0 - 0 0 0
0 0 - 0 0
0 0 0 - 0
0 0 0 0 -
0 0