球的切接问题专题.doc

专题:球的切接问题

正方体的内切球:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为,球半径为。
如图1,截面图为正方形的内切圆,得;
2与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,
如图2作截面图,圆为正方形的外接圆,易得。
3正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,
如图3,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。
图1
图2
图3

图4
如图4所示,设点是内切球的球心,,,外接球半径为.
正四面体的表面积.
正四面体的体积
,
在中,,即,得,得
小结:正四面体内切球半径是高的,外接球半径是高的
:即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为a,b,c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?
2R
联想正方体的外接球,过长方体的对角面的作截截面图

a
(4)
结论:由图形(4)我们可以发现外接球的半径
二、题型与方法归类
例1、(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.
,球的直径是正方体的对角线,所以有球的半径R=,则该球的表面积为S=4πR2=
(2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积.
设SO1是正四面体S-ABC的高,外接球的球心O在SO1上,设外接球半径为R,AO1=r,
则在△ABC中,用解直角三角形知识得r=,
从而SO1===,
在Rt△AOO1中,由勾股定理得R2=(-R)2+()2,解得R=,
∴V球=πR3=π()3=π.
变式练习:
1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积( C )

2已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的棱长等于( D )
B. C. D.
解析由题意知V=πR3=,∴R=2,外接球直径为4,即正方体的体对角线,设棱长为a,
则体对角线l=a=4,a=.
半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________,体积为________.
【解析】外切圆柱的底面半径为R,高为2R,∴S表=S侧+2S底=2πR·2R+2πR2=6πR2,
V圆柱=πR2·2R=2πR3. 【答案】 6πR2;2πR3
例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点,OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,求球的体积与表面积。
分析:通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。
解:将三棱锥补成长方体,设外接球的半径为r,则,解得,所以球的表面积S=
变式训练:
如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AC=,则三棱锥P-ABC的外接球的体积为
A. B. C. ::补成长方体得解.
例3:把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离.
分析: