基本不等式(教师).doc

源于名校,成就所托
高中数学备课组
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主课题:基本不等式
教学目标:
教学重点:
教学难点:
考点及考试要求:
教学内容
高考要求
1了解算术平均数与几何平均数的意义,掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理
2能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题
3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值
知识点归纳

(1) 当且仅当
(2)
(3),则
(4)
2最值定理:设
(1)如积
(2)如积
即:积定和最小,和定积最大
运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等
3 均值不等式:
两个正数的均值不等式:
三个正数的均值不等是:
n个正数的均值不等式:
4四种均值的关系:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,,,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明
精解名题
例1 设a>0 ,b>0 则下列不等式中不成立的是()
+b+≥2 B (a+b)( +)≥4
C ≥a+b D ≥
解法一:由于是选择题,可用特值法,如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式,易判断≥不成立
解法二:可逐项使用均值不等式判断
+b+≥2+≥2=2,不等式成立
B∵a+b≥2>0, +≥2>0,相乘得: (a+b)( +)≥4成立
C ∵a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=()2
又≤≥∴≥a+b 成立
D ∵a+b≥2≤,
∴≤=,即≥不成立
故选D
例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
解:不对
设左、右臂长分别是,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G,则由杠杆平衡原理有:
,
①×②得G2=, ∴G=
由于,故,由平均值不等式> 知说法不对
真实重量是两次称量结果的几何平均值
点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力,属跨学科(数学、物理)的创新问题
例3设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为__
分析: ∵x2+=1是常数, ∴x2与的积可能有最大值
∴可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2·
解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1
∴==
≤==
当且仅当