第四课时基本不等式
【学习目标】
理解均值定理及均值不等式的证明过程
能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题
在使用均值不等式过程中,要注意定理成立的条件,为能使用定理解题,要采用配凑的方法,创造条件应用均值不等式。
通过运用基本不等式解决实际应用性问题,提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。
【学习重点】
应用数形结合的思想理解基本不等式
【学习难点】
应用基本不等式求最大值和最小值
[自主学习]
,
若a>b>0,m>0,则;
若a,b同号且a>b则。
:
两个正数的均值不等式: 变形,等。
:设
(1)如果x,y是正数,且积,则xy时,
(2)如果x,y是正数和,则x=y时,
运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等
,求最值、取值范围,比较大小等。
[课前热身]
1. 已知,且,则的最大值为.
2. 若,则的最小值为.
3. 已知:,且,则的最小值是.
4. 已知下列四个结论
①当;②;
③的最小值为2;④当无最大值.
则其中正确的个数为
[典型例析]
例1(1)已知,求函数的最大值.
(2)求函数的最小值求的最大值.
变式训练
(1)已知x、y为正实数,且,求x+y的最小值。
(2) 已知,且,求的最大值.
例2 某单位用木材制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要使框架围成的总面积为8,问x y分别为多少时用料最省?
例3 已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点,C(x,0)是x轴上任意
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