弹性学制数学讲义不等式(4课时)★知识梳理1、不等式的基本性质①(对称性)②(传递性)③(可加性)(同向可加性)(异向可减性)④(可积性)⑤(同向正数可乘性)(异向正数可除性)⑥(平方法则)⑦(开方法则)⑧(倒数法则)2、几个重要不等式①,(当且仅当时取号).变形公式:②(基本不等式),(当且仅当时取到等号).变形公式:用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③(三个正数的算术—几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).④(当且仅当时取到等号).⑤(当且仅当时取到等号).⑥(当仅当a=b时取等号)(当仅当a=b时取等号)⑦,(其中规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式:,,当且仅当时取号).(即调和平均几何平均算术平均平方平均).变形公式:②幂平均不等式:③二维形式的三角不等式:④二维形式的柯西不等式:当且仅当时,等号成立.⑤三维形式的柯西不等式:⑥一般形式的柯西不等式:⑦向量形式的柯西不等式:设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.⑧排序不等式(排序原理):,则(反序和乱序和顺序和),当且仅当或时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸(或凹)、不等式证明的几种常用方法常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,:①舍去或加上一些项,如②将分子或分母放大(缩小),、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤:一化::::::当二次项系数为正时,小于取中间,、高次不等式的解法:,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则(时同理)规律:、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求
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