高中数学必修一《集合与函数》.docx

集合的概念与集合的表示

集
合
概念
把研究对象的总体称为集合,把研究对象统称为元素。
元素的性质
(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性
表
示
方
法
列
举
法
①元素不重复
②元素无顺序
③元素间用“,”隔开
描
述
法
①写清楚集合中元素的代号,如{x∈R|x>0},不能写成{x>2};
②说明该集合中元素的性质;
③所有描述的内容都写在大括号内。
元素与集合的关系
一般地,用大写拉丁字母如A、B、C表示集合,用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素,如果a是集合A中的元素就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA。
常用数集及其记法
N为零和正整数组成的集合,即自然数集,N*或N+为正整数组成的集合;Z为整数组成的集合;Q为有理数组成的集合,R为实数组成的集合。
例题1 判断下列命题是否正确,并说明理由。
(1){R}=R;
(2)方程组的解集为{x=1,y=2};
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1};
(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}。
答案:(1){R}=R是不正确的,R通常为R={x|x为实数},即R本身可表示为全体实数的集合,而{R}则表示含有一个字母R的集合,它不能为实数的集合。
(2)方程组的解集为{x=1,y=2}是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y),正确答案应为{(x,y)|}={(1,2)}。
(3){x|y=x2-1}={y|y=x2-1}={(x,y)|y=x2-1}是不正确的。
{x|y=x2-1}表示的是函数自变量的集合,它可以为{x|y=x2-1}={x|x∈R}=R。
{y|y=x2-1}表示的是函数因变量的集合,它可以为{y|y=x2-1}={y|y≥-1}。
{(x,y)|y=x2-1}表示点的集合,这些点在二次函数y=x2-1的图象上。
(4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为{P|PM=PN},该命题是正确的。
知识点拨:正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定,不能乱用;二元一次方程组的解集必须为{(x,y)|}的形式;对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁,竖杠后其特征又是什么。
例题2 已知a∈{1,-1,a2},则a的值为______________________。
答案:∵a∈{1,-1,a2},
∴a可以等于1,-1,a2。
(1)当a=1时,集合则为{1,-1,1},不符合集合元素的互异性。故a≠1。
(2)同上,a=-1时也不成立。
(3)a=a2时,得a=0或1,a=1不满足,舍去,a=0时集合为{1,-1,0}。
综上,a=0。
知识点拨:集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同,无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时,既要注意对字母进行讨论,又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。
随堂练习:下列各组对象中不能构成集合的是……( )
A. 高一(1)班全体女生 B. 高一(1)班全体学生的家长
C. 高一(1)班开设的所有课程 D. 高一(1)班身高较高的男同学
知识点拨:根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合。若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合。
答案:D
判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征:(1)确定性,(2)互异性,(3)无序性,特别是确定性比较难理解,是指元素和集合的关系是非常明确的,要么该元素属于集合,要么该元素不属于集合,而不是模棱两可。
例题判断以下对象能否组成集合。
(1)高一(1) m的学生;
(2)高一(1)班的高个子学生。
答案:(1)高一(1) m的学生是确定的, m的学生可以组成集合。
(2)高一(1)班中的高个子学生没有具体身高标准,因此高个子学生不能组成集合。
(答题时间:15分钟)
1. 下列集合表示法正确的是( )
A. {1,2,3,3}
B. {全体有理数}
C. 0={0}
D. 不等式x-3>2的解集是{x|x>5}
2. 下列语句
①集合{x|0<x<1}可以用列举法表示;
②集合{1,2,1}含有三个元素;
③正整数集可以表示为{1,2,3,4,…};
④由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}。
正确的是( )
A.