定义1:设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数列,称为数列的一个子列,简记为。在数列中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列,记为,其中表示在原数列中的项数,:数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为非平凡子列。性质:一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散;且在收敛时有相同的极限。对数列的子列,有如下结果:(1)对每一个,有.(2)对任意两个正整数,如果,,若,则.(3),有.(4):,则任给,找得到正整数N,当时,,当2n>2N时也有,,则对任给,找得到正整数N,当n>N时,有①同时可找到正整数M,当n>M时,有②从而取N0=max{2N,2M+1},当n>N0时,n为偶数,则满足①;n为奇数,则满足②,即当n>N时,有,亦即.(5)若,和都收敛,且有相同的极限,则收敛。或者说:数列收敛的充要条件是,:设,则由数列极限的定义,知,,,;同样也有,,;,,。取,当时,对任意的自然数n,若,则必有,从而;同样若,则必有,从而也有;若,则必有,从而。所以,即收敛。(6)数列收敛的充要条件::.,,故当时更有,从而也有,,又是的子列,,(4)。例1:证明以下数列发散(1);(2)证明:设,则,而,
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