第五章相似矩阵及二次型
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定义1 设有n维向量
x
y
令[x,y]=
称[x,y]为向量x与y的内积。
一、向量的内积
1)内积是一个数(或是一个多项式)。
2)内积是向量的一种运算,可用距阵的运算。
列向量:
行向量:
:
设 x ,y ,z 为n 维向量,λ为实数。
1) 对称性: [x,y]=[y,x];
2) 齐次性: [λx,y]=λ[x,y];
3) 线性性: [x+y,z]=[x,z]+[y,z]。
(长度)
定义2 令
称‖x‖为n维向量x的范数。
:
1)非负性当x≠ 0 时, ‖x‖>0;当 x = 0时, ‖x‖= 0;
2)齐次性‖λx‖=︱λ︱‖x‖;
3)三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。
称‖x‖=1时的向量x为单位向量。任意α≠ 0, 为单位向量。
‖x‖≠0‖y‖≠0时
即
(当‖x‖‖y‖≠0时),
称θ为n维向量x与y的夹角。
三、向量组的正交性
. 设 x、y 为n维向量,当[x,y]=0时,称x与y是正交的。
若x = 0,则 x 与任何向量都正交。
:指一组两两正交的非零向量。
定理1 若n 维向量α1, α2 , …, αr 是一组两两正交的非零向量,则α1, α2 , …, αr 线性无关。
证设有,使
λ1α1+ λ2α2 + …+ λrαr = 0,
取αi ( i = 1, 2 ,…, r )在上式的两端作内积。
[ λiαi,αi ] = 0
亦即λi[αi,αi ] = 0
因αi≠0 , 故[αi,αi
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